Question

19．如圖，在多面體ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁B₁BA是正方形，AC=AB=1，△A₁BC為等邊三角形，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$．
（1）求證：AC₁⊥BC；
（2）求二面角C-A₁C₁-B的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得A₁C=A₁B=$\sqrt{2}$，A₁A=AC=1，由此能證明A₁A⊥平面ABC，從而AC₁⊥BC．
（2）以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-A₁C₁-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵在多面體ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁B₁BA是正方形，
AC=AB=1，△A₁BC為等邊三角形，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$．
∴BC=A₁C=A₁B=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，A₁A=AC=1，
∴A1A2+AC2=A1C2，
∴A₁A⊥AC，
又A₁A⊥AB，∴A₁A⊥平面ABC，
∵BC?面ABC，∴AC₁⊥BC．
解：（2）∵AC=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，∴AC²+AB²=BC²，∴AC⊥AB，
∵A₁A⊥平面ABC，∴以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
C（1，0，0），B（0，1，0），A₁（0，0，1），C₁（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），
設(shè)平面A₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
設(shè)平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
設(shè)二面角C-A₁C₁-B的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴二面角C-A₁C₁-B的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面垂直垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．