Question

9．已知f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-10lnx，h（x）=-x²+（m-2）x+6．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=4時，對于任意x₁，x₂∈（0，1），均有h（x₁）≥f（x₂）恒成立，試求參數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a∈[5，+∞）時，曲線y=f（x）總存在相異的兩點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂）），使得曲線y=f（x）在點(diǎn)P，Q處的切線互相平行，求證：x₁x₂＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分離參數(shù)求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出h（x）_min和f（x）_max，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可；
（Ⅲ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到$a=\frac{{10{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}≥5$，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=a+\frac{a}{x^2}-\frac{10}{x}=\frac{{a{x^2}-10x+a}}{x^2}$…（2分）
對于任意（0，+∞）上，滿足f'（x）≥0，
即$a{x^2}-10x+a≥0，a≥\frac{10x}{{{x^2}+1}}$．
而$\frac{10x}{{{x^2}+1}}≤5$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取最大值5，
所以a≥5．…（4分）
（Ⅱ）$f（x）=4x-\frac{4}{x}-10lnx$，
$f'（x）=4+\frac{4}{x^2}-\frac{10}{x}=\frac{2（2x-1）（x-2）}{x^2}$．
令f'（x）=0，可得${x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=2$，
所以函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2}，1）$單調(diào)遞減，
所以$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{2}）=-6+10ln2$，…（6分）
h（x₁）≥f（x₂）恒成立，
滿足h（x）_min≥f（x）_max，
即$\left\{{\begin{array}{l}{h（0）≥f{{（x）}_{max}}}\\{h（1）≥f{{（x）}_{max}}}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{6≥-6+10ln2}\\{-1+m-2+6≥-6+10ln2}\end{array}}\right.}\right.$⇒m≥-9+10ln2，
所以m的取值范圍是[-9+10ln2，+∞）…（8分）
（Ⅲ）由題意可知，當(dāng)a∈[5，+∞）時，
f'（x₁）=f'（x₂）（x₁，x₂＞0且x₁≠x₂），
$f'（x）=a+\frac{a}{x^2}-\frac{10}{x}=\frac{{a{x^2}-10x+a}}{x^2}$，
可得$a+\frac{a}{{{x_1}^2}}-\frac{10}{x_1}=a+\frac{a}{{{x_2}^2}}-\frac{10}{x^2}⇒\frac{a（x_2^2-x_1^2）}{x_1^2x_2^2}=\frac{{10（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
$a=\frac{{10{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}≥5$（10分）
可得$2{x_1}{x_2}≥{x_1}+{x_2}＞2\sqrt{{x_1}{x_2}}⇒{x_1}{x_2}＞1$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．