【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,直線l:x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T.

(I)求橢圓C的方程和點T的坐標;

)O為坐標原點,與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點A,B,直線l′與直線l交于點P,試判斷是否為定值,若是請求出定值,若不是請說明理由.

【答案】(I)+=1,T(1,); (Ⅱ)見解析.

【解析】

(I)由橢圓的離心率為得到 b2=a2,根據(jù)直線l:x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T得到△=0,解得a2=4,b2=3,即得橢圓的方程.先計算出|PT|2=t2,|PA|==|﹣x1|,|PB|=|﹣x2|,再計算=為定值.

(I)由橢圓的離心率e===,則b2=a2

,消去x,整理得:y2﹣16y+16﹣a2=0,①

由△=0,解得:a2=4,b2=3,

所以橢圓的標準方程為:+=1;所以=,則T(1,),

(Ⅱ)設(shè)直線l′的方程為y=x+t,由,解得P的坐標為(1﹣,+),

所以|PT|2=t2,

設(shè)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立,消去y整理得x2+tx+﹣1=0,

則x1+x2=﹣t,x1x2=,△=t2﹣4(﹣1)>0,t2<12,

y1=x1+t,y2=x2+t,|PA|==|﹣x1|,

同理|PB|=|﹣x2|,

|PA||PB|=|(﹣x1)(﹣x2)|=|(x1+x2)+x1x2|,

|(﹣t)+|=t2,所以==

所以=為定值.

練習冊系列答案
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1)若a=1,求3小時內(nèi),該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高,并求出最大值?

2)若使小白鼠在用藥后3小時內(nèi)血液中的藥物濃度不低于4,求正數(shù)a的取值范圍。

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(2)試估計該公司投入萬元廣告費用之后,對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);

(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數(shù)據(jù)顯示, 之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.

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