Question

【題目】已知，，圓上的動(dòng)點(diǎn)T滿足：線段TQ的垂直平分線與線段TP相交于點(diǎn)K．

Ⅰ求點(diǎn)K的軌跡C的方程；

Ⅱ經(jīng)過(guò)點(diǎn)的斜率之積為的兩條直線，分別與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，試判斷直線MN是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)若是，則求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

【解析】

Ⅰ利用橢圓的定義即可得出k的軌跡方程；Ⅱ設(shè)直線AM的方程為，代入橢圓方程消元，得出M，N坐標(biāo)的關(guān)系，求出MN的方程，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Ⅰ，

點(diǎn)K的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為的橢圓，

點(diǎn)K的軌跡方程為：，

Ⅱ設(shè)直線AM的斜率為k，則直線AM的方程為，

聯(lián)立可得，整理，可得，

則，則，代入，可得，

，

同理可得，

當(dāng)M，N的橫坐標(biāo)不相等時(shí)，直線MN的斜率，

故直線MN的方程為，

令，可得，

此時(shí)直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

當(dāng)M，N的橫坐標(biāo)相等時(shí)，有，解得，

此時(shí)點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為，

此時(shí)直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

綜上所述直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)