Question

17．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，滿足a₅+a₄-a₃-a₂=9，則a₆+a₇的最小值為（　�。�

• A． 9
• B． 18
• C． 27
• D． 36

Answer 1

分析 可判數(shù)列{a_n+a_n+1}也是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，則a₂+a₃，a₄+a₅，a₆+a₇構(gòu)成等比數(shù)列．設(shè)其公比為x，a₂+a₃=a，則x∈（1，+∞），a₄+a₅=ax，結(jié)合已知可得a=$\frac{9}{x-1}$，代入可得y=a₆+a₇的表達(dá)式，x∈（1，+∞），由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n+a_n+1}也是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，
則a₂+a₃，a₄+a₅，a₆+a₇構(gòu)成等比數(shù)列．
設(shè)其公比為x，a₂+a₃=a，
則x∈（1，+∞），a₅+a₄=ax，
∴有a₅+a₄-a₃-a₂=ax-a=9，即a=$\frac{9}{x-1}$，
∴y=a₆+a₇=ax²=$\frac{9{x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
求導(dǎo)數(shù)可得y′=$\frac{18x（x-1）-9{x}^{2}}{（x-1）^{2}}=\frac{9x（x-2）}{（x-1）^{2}}$，令y′＞0可得x＞2，
故函數(shù)在（1，2）單調(diào)遞減，（2，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=a₆+a₇取最小值：36．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬中檔題．