Question

6．已知橢圓C的兩個焦點是F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），且橢圓C經過點$A（0，\sqrt{5}）$．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）若過左焦點F₁且傾斜角為45°的直線l與橢圓C交于P、Q兩點，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可得橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=2，b=$\sqrt{5}$，求得a=3，即可得到所求橢圓方程；
（2）求出直線l的方程，代入橢圓方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運用韋達定理，由弦長公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）由已知得，橢圓C的焦點在x軸上，
可設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
$（0，\sqrt{5}）$是橢圓短軸的一個頂點，可得$b=\sqrt{5}$，
由題意可得c=2，即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=3，
則橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$；
（2）由已知得，直線l斜率k=tan45°=1，而F₁（-2，0），
所以直線l方程為：y=x+2，
代入方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，得5x²+9（x+2）²=45，即14x²+36x-9=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{36}{14}，{x_1}{x_2}=-\frac{9}{14}$，
則$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{1^2}}×\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{2}×\sqrt{\frac{36×36}{14×14}+\frac{4×9×14}{14×14}}=\sqrt{2}×\frac{{6\sqrt{50}}}{14}=\frac{30}{7}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的焦點和點滿足橢圓方程，考查弦長公式的運用，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，考查運算能力，屬于基礎題．