已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：對任意的 ，有.

（1）①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；
②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；
③時(shí)，在是增函數(shù).
（2）見解析.

解析試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得到，而后根據(jù)兩個(gè)駐點(diǎn)的大小比較，分以下三種情況討論.
①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；
②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；
③時(shí)，在是增函數(shù).
（2）注意到時(shí)，在是增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，有.從而得到：對任意的，有
通過構(gòu)造，并放縮得到
利用裂項(xiàng)相消法求和，證得不等式。涉及數(shù)列問題，往往通過“放縮、求和”轉(zhuǎn)化得到求證不等式.
試題解析：（1）      1分
①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；        3分
②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；      5分
③時(shí)，在是增函數(shù).      6分
（2）由（1）知時(shí)，在是增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，.
對任意的，有
                  8分
                  10分
所以
                     12分
考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，“裂項(xiàng)相消法”求和.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，．
（1）記為的導(dǎo)函數(shù)，若不等式 在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，對任意的，不等式恒成立，求m（m∈Z，m1）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，.
（1）求的最大值；
（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；
（3）證明不等式：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
(Ⅰ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值.

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已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間上是減函數(shù)，求的取值范圍．

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已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果對于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的所有切線，令各切點(diǎn)得橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極值，且極大值為2，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)。
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)有極值點(diǎn)，求的取值范圍及的極值點(diǎn)。

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