Question

5．某人居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖（例如A→C→D算兩個路段：設(shè)路段AC發(fā)生堵車事件的概率為$\frac{1}{10}$，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為$\frac{1}{15}$）．
（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；
（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN，根據(jù)各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁=1-P（$\overline{AB}$•$\overline{CD}$•$\overline{DB}$），同理得路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂=
1-P（$\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$），路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃=1-P（$\overline{AE}$•$\overline{EF}$•$\overline{FB}$），然后比較即可；
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0，1，2，3，然后利用互斥事件與對立事件的公式分別求出相應(yīng)的概率，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答 解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN．
因為各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，
所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁=1-P（$\overline{AC}$•$\overline{CD}$•$\overline{DB}$）=1-P（$\overline{AC}$）•P（$\overline{CD}$）•P （$\overline{DB}$）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-$\frac{9}{10}$$•\frac{14}{15}•\frac{5}{6}=\frac{3}{10}$，
同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂=1-P（$\overrightarrow{AC}•\overline{EF}•\overline{FB}$）=$\frac{239}{800}$（小于$\frac{3}{10}$），
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃=1-P（$\overline{AE}$•$\overline{EF}$•$\overline{FB}$）=$\frac{91}{300}$（大于$\frac{3}{10}$）
要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小．
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（$\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$）=$\frac{561}{800}$，
P（ξ=1）=P（AC•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$）+P（$\overline{AC}$•CF•$\overline{FB}$）+P（$\overline{AC}$•$\overline{CF}$•FB）=$\frac{1}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{637}{2400}$，
P（ξ=2）=P（AC•CF•$\overline{FB}$）+P（AC•$\overline{CF}$•FB）+P（$\overline{AC}$•CF•FB）=$\frac{1}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{1}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{1}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{77}{2400}$，
P（ξ=3）=P（$\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$）=$\frac{1}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2400}$．
∴Eξ=0×$\frac{561}{800}$+1×$\frac{637}{2400}$+2×$\frac{77}{2400}$+3×$\frac{3}{2400}$=$\frac{1}{3}$．
∴路線A→C→FB中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及對立事件和離散型隨機變量的期望，同時考查了計算能力，屬于中檔題．