已知四棱錐的三視圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對(duì)角線的正方形.是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；
(3) 若四點(diǎn)在同一球面上，求該球的體積.

（1）參考解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）要證明，要轉(zhuǎn)到線面垂直，通過觀察需證明平面.所以要證明垂直于平面兩條相交直線，顯然，.從而可得結(jié)論.
（2）要求直線與平面所成角的正弦值，需要找到直線與平面所成的角.通過證明平面平面.即可得到點(diǎn)E到平面的投影在PO（O是AC與BD的交點(diǎn)）上.這樣就可以求出直線與平面所成的角，再通運(yùn)算即可求出結(jié)論.本小題也可已建立空間坐標(biāo)系來(lái)求.
（3）若四點(diǎn)在同一球面上，求該球的體積.依題意可得.只要把圖形補(bǔ)齊為一個(gè)長(zhǎng)方體.外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).即可求結(jié)論.
試題解析：（1）證明：由已知

,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4e/5/10zwv2.png" style="vertical-align:middle;" />，
(2)解法一：連AC交BD于點(diǎn)O，連PO，由(1)知
則，為與平面所成的角.
,則
法二：空間直角坐標(biāo)法，略.
(3)解：以正方形為底面，為高補(bǔ)成長(zhǎng)方體，此時(shí)對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，
,.
考點(diǎn)：1.線線垂直.2.線面所成的角.3.割補(bǔ)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐S ­ABC中，平面EFGH分別與BC，CA，AS，SB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.

求證：(1)AB∥平面EFGH；
(2)GH∥EF；
(3)GH⊥平面SAC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；
（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，側(cè)面.

（1）證明：；
（2）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（２）若，，PB與底面ABC成60°角，分別是與的中點(diǎn)，是線段上任意一動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），求多面體的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，是以為直徑的半圓上異于點(diǎn)的點(diǎn)，矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面，且

(Ⅰ)求證：；
(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為,
①求證：//;
②若，求三棱錐E-ADF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，平面底面．

（Ⅰ）如果為線段VC的中點(diǎn),求證：平面；
（Ⅱ）如果正方形的邊長(zhǎng)為2, 求三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）求此幾何體的體積V的大小;
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（3）試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQBQ并說明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案