Question

3．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，∠ABC=120°，點E在AD上，AE=BC=AB=2，AD=3BC，點F為PD的中點，PB⊥AC．
（1）證明：PA=PC；
（2）求點F到平面PBE的距離．

Answer 1

分析 （1）連接EC，由已知可得：四邊形ABCE是菱形．設AC∩BE=O點，可得AC⊥BE，且OA=OC．又PB⊥AC，可得AC⊥平面PBE．可得AC⊥PO．即可證明．
（2）取ED的中點M，連接FM，CM．又點F是PD的中點，可得FM∥PE，利用線面平行的判定定理可得：FM∥平面PBE．由已知可得：四邊形BCME是平行四邊形，可得CM∥BE，同理可得：CM∥平面PBE．可得平面CFM∥平面PBE，又CO⊥平面PBE，可得OC為平行平面CFM與平面PBE之間的距離，即為點F到平面PBE的距離．

解答 （1）證明：連接EC，由已知可得：四邊形ABCE是菱形．
設AC∩BE=O點，則AC⊥BE，且OA=OC．
又PB⊥AC，PB∩BE=B．
∴AC⊥平面PBE．PO?平面PBE．
∴AC⊥PO．又OA=OC．
∴PA=PC．
（2）解：取ED的中點M，連接FM，CM．
又點F是PD的中點，∴FM∥PE，F(xiàn)M?平面PBE，PE?平面PBE．
∴FM∥平面PBE．
由EM∥BC，EM=BC，可得：四邊形BCME是平行四邊形，∴CM∥BE，同理可得：CM∥平面PBE．
又FM∩CM=M，∴平面CFM∥平面PBE，
又CO⊥平面PBE，∴CO⊥平面CFM．
∴OC為平行平面CFM與平面PBE之間的距離，即為點F到平面PBE的距離．
在Rt△OBC中，∠OBC=60°，BC=2，∴OC=$\sqrt{3}$．
∴點F到平面PBE的距離為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了空間位置關系與空間距離、菱形的性質(zhì)、之間三角形的邊角關系、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．