Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），經(jīng)過橢圓C上一點P的直線l：y=-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$x+$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$與橢圓C有且只有一個公共點，且點P橫坐標為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若AB是橢圓的一條動弦，且|AB|=$\frac{5}{2}$，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由p的橫坐標可得P的坐標，代入橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0得到a，b關(guān)系，進一步求得a，b的值，則橢圓C的標準方程可求；
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為：y=kx+b，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用弦長公式求得k、b的關(guān)系，求出原點O到直線AB的距離，把△AOB的面積化為含有k的函數(shù)，然后利用換元法求得最值．

解答 解：（Ⅰ）∵P（2，$\sqrt{2}$），∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1$，①
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{3}{2}\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得$^{2}{x}^{2}+{a}^{2}（-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}={a}^{2}^{2}$，
化簡得：$（^{2}+\frac{1}{8}{a}^{2}）{x}^{2}-$$\frac{3}{2}{a}^{2}x+\frac{9}{2}{a}^{2}-{a}^{2}^{2}=0$．
由△=$\frac{9}{4}{a}^{4}-4（^{2}+\frac{1}{8}{a}^{2}）（\frac{9}{2}{a}^{2}-{a}^{2}^{2}）=0$，②
聯(lián)立①②得：a²=12，b²=3，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程為：y=kx+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kbx+4（b²-3）=0．
故${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（^{2}-3）}{1+4{k}^{2}}$，
由$\frac{25}{4}=|AB{|}^{2}=（1+{k}^{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}=（1+{k}^{2}）$$[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$，
得$^{2}=3（1+4{k}^{2}）-\frac{25（1+4{k}^{2}）^{2}}{64（1+{k}^{2}）}$，
故原點O到直線AB的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴S=$\frac{5}{4}•\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
令u=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，則${S}^{2}=-\frac{625}{1024}（{u}^{2}-\frac{192}{25}u）=-\frac{625}{1024}（u-\frac{96}{25}）^{2}+9$．
又∵$u=\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=4-\frac{3}{1+{k}^{2}}$∈[1，4），當(dāng)u=$\frac{96}{25}$時，S²_max=9；
當(dāng)斜率不存在時，△AOB面積的最大值為$\frac{5\sqrt{23}}{8}$．
綜上可知，△AOB面積的最大值為3．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了換元法求函數(shù)的最值，是中檔題．