Question

7．α、β均為鈍角，且sinα=$\frac{12}{13}$，cos（β-α）=$\frac{3}{5}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 根據(jù)平方關(guān)系和角的范圍求出cosα、sin（β-α），利用兩角差的正弦公式求出sinβ的值．

解答 解：∵α、β均為鈍角，且sinα=$\frac{12}{13}$，∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$-\frac{5}{13}$，
由90°＜α＜180°，90°＜β＜180°得，
-180°＜-α＜-90°，則-90°＜β-α＜90°，
∵cos（β-α）=$\frac{3}{5}$，∴sin（β-α）=$±\sqrt{1-co{s}^{2}（β-α）}$=$±\frac{4}{5}$，
當(dāng)sin（β-α）=$\frac{4}{5}$時(shí)，sinβ=sin（β-α+α）=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα
=$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）+\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$；
當(dāng)sin（β-α）=-$\frac{4}{5}$時(shí)，sinβ=sin（β-α+α）=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα
=-$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）+\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$，
sinβ的值是$\frac{16}{65}$或$\frac{56}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)值的符號(hào)，用已知角表示所要求的角是解決本題的關(guān)鍵，注意角的范圍．