Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為偶函數(shù)，點P，Q分別為函數(shù)y=f（x）圖象上相鄰的最高點和最低點，且|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2}$．求函數(shù)f（x）的解析式、周期、值域．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求出φ，利用PQ=$\sqrt{2}$以及函數(shù)的單調(diào)性、周期性求得ω，可得函數(shù)的解析式，從而求出它的周期和值域．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為偶函數(shù)，
∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$cosωx．
點P，Q分別為函數(shù)y=f（x）圖象上相鄰的最高點和最低點，
且|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{{1}^{1}{+（\frac{T}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴T=2=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=π，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cosπx，它的周期為2，值域為[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域和周期性以及它的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．