Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=3，a₅=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n和前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）證明：命題“?n∈N⁺，$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$”是真命題．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)和求和；
（Ⅱ）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=3，a₅=9，可得a₁+d=3，a₁+4d=9，
解得a₁=1，d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）=n²；
（Ⅱ）證明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1--$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
則命題“?n∈N⁺，$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$”是真命題．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．