Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，b），右焦點(diǎn)為F，直線BF與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M，且|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FM}$|，則該橢圓離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 F（c，0），直線BF的方程為：$\frac{x}{c}+\frac{y}$=1，即bx+cy-bc=0，與橢圓方程聯(lián)立化為：（a²+c²）x²-2a²cx=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x_M+0=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，由于|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FM}$|，可得$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FM}$，則c-0=2（x_M-c），代入即可得出．

解答 解：F（c，0），直線BF的方程為：$\frac{x}{c}+\frac{y}$=1，即bx+cy-bc=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{bx+cy-bc=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（a²+c²）x²-2a²cx=0，
則x_M+0=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，即x_M=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
∵|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FM}$|，∴$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FM}$，
則c-0=2（x_M-c），
∴2x_M=3c，
∴2×$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$=3c，
化為：a²=3c²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．