Question

2．已知點P（1+cosα，sinα），參數(shù)α∈[0，2π），在以O(shè)極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點Q在曲線C：ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$上．
（1）求點P的軌跡方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求點P與點Q之間距離的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，求出P點軌跡方程的普通方程即可，根據(jù)y=ρsinθ，x=ρcosθ求出曲線C的直角坐標(biāo)方程即可；
（2）求出圓心的坐標(biāo)，根據(jù)圓心與直線的距離求出|PM|的最值即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，α∈[0，2π），
得點P的軌跡方程（x-1）²+y²=1，
又由ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，
得ρ=$\frac{9}{sinθ+cosθ}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=9，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x+y-9=0；
（2）圓（x-1）²+y²=1的圓心（1，0），
到直線x+y-9=0的距離為：
d=$\frac{|1+0-9|}{\sqrt{1+1}}$=4$\sqrt{2}$，
又圓的半徑為1，
所以|PQ|_min=4$\sqrt{2}$-1，|PQ|_max不存在．

點評 本題考查了普通方程以及極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，考查點到直線的距離，是一道中檔題．