Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n＞0，前n項和為S_n，若a_n=

Sn

+

Sn-1

，（n∈N^*，n≥2）．
（l）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{

1

anan+1

}前n項和為T_n，求證

1

20

≤T_n≤

3

20

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（l）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{

1

anan+1

}前n項和為T_n，利用不等式的性質(zhì)即可證明

1

20

≤T_n≤

3

20

．

解答： 解：（1）∵a_n=

Sn

+

Sn-1

=S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）．（n∈N^*，n≥2）．
∴

Sn

-

Sn-1

=1，
即{

Sn

}是一個首項為

S1

=

a1

=

4

=2，公差d=1的等差數(shù)列，
則

Sn

=2+n-1=n+1，
則S_n=（n+1）²，
當(dāng)n≥2時，a_n=

Sn

+

Sn-1

=n+1+n=2n+1，
當(dāng)n=1時，a₁=4不滿足a_n，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

4， n=1 2n， n≥2

（2）若數(shù)列{

1

anan+1

}前n項和為T_n，
則T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4×5

+

1

5×7

+

1

7×9

+…+

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

20

+

1

2

（

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=

1

20

+

1

2

（

1

5

-

1

2n+3

）=

3

20

-

1

4n+6

，
∵

1

4n+6

≤

1

10

，
∴

1

20

≤T_n≤

3

20

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，以及數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，利用裂項法求和是解決本題的關(guān)鍵．