Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間[-2，-1]上，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=-1代入曲線方程，求出x=1的點(diǎn)的坐標(biāo)，把原函數(shù)求導(dǎo)后求出f^′（1），直接由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；
（Ⅱ）由在區(qū)間[-2，-1]上，恒成立，取x=-2時(shí)求出a的初步范圍，然后把函數(shù)f（x）求導(dǎo)，經(jīng)分析導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，得到函數(shù)f（x）在[-2，-1]上為增函數(shù)，由其在[-2，-1]上的最小值f（-2）大于等于解出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-e^xx²，f（1）=-e．
f^′（x）=-（x²+2x）e^x，則k=f^′（1）=-3e．
∴切線方程為：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由，得：a．
f^′（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]．
∵a，∴f^′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，
要使恒成立，則，解得a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，處理（Ⅱ）時(shí)運(yùn)用了特值化思想，是該題的難點(diǎn)所在，此題屬中檔題．