Question

9．設(shè)a+b=-2，b＜0，則當(dāng)a=2時(shí)，$\frac{1}{2|a|}$-$\frac{|a|}$取得最小值．

Answer 1

分析 求$\frac{1}{2|a|}$-$\frac{|a|}$的最小值，消去常數(shù)1，∵$\frac{1}{2|a|}=-\frac{-2}{4|a|}$，a+b=-2，那么$\frac{1}{2|a|}$-$\frac{|a|}$=$-\frac{-2}{4|a|}-\frac{|a|}=-\frac{a+b}{4|a|}-\frac{|a|}$，從而利用基本不等式求解最小值時(shí)a的值．

解答 解：由題意：a+b=-2，b＜0知b=-2-a＜0，
∴a＞-2．
∵$\frac{1}{2|a|}=-\frac{-2}{4|a|}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，則：$\frac{1}{2|a|}$-$\frac{|a|}$=$-\frac{-2}{4|a|}-\frac{|a|}=-\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}$=$-\frac{1}{4}-\frac{4|a|}-\frac{|a|}$
∵b＜0，
∴$-\frac{4|a|}-\frac{|a|}$≥2$\sqrt{\frac{4|a|}•\frac{|a|}}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)-b=2a時(shí)取等號(hào)．
所以$-\frac{1}{4}-\frac{4|a|}-\frac{|a|}$≥1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
此時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{-b=2a}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$
解得：a=2
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，則：$\frac{1}{2|a|}$-$\frac{|a|}$=$-\frac{-2}{4|a|}-\frac{|a|}=-\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}$=$\frac{1}{4}-\frac{4|a|}-\frac{|a|}$
所以$\frac{1}{4}-\frac{4|a|}-\frac{|a|}$≥1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{b=2a}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$
a=$-\frac{2}{3}$
綜上所述：當(dāng)a=2時(shí)，$\frac{1}{2|a|}$-$\frac{|a|}$取得最小值為$\frac{3}{4}$．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)時(shí)a，b的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．