Question

20．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^x}-1，-1≤x＜0\\{log_2}（x+1），0≤x＜3\end{array}$對(duì)于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x-2）．若在區(qū)間[-5，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx+m恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}}）$．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）和y=m（x-1）在[-5，3]上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出f（x）的圖象，結(jié)合圖象求出m的范圍即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x-2），∴f（x）=f（x+4），
f（x）是以4為周期的函數(shù)，
若在區(qū)間[-5，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx+m恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則f（x）和y=m（x-1）在[-5，3]上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
畫(huà)出函數(shù)函數(shù)f（x）在[-5，3]上的圖象，如圖示：
，
由K_AC=-$\frac{1}{6}$，K_BC=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合圖象得：
m∈$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}}）$，
故答案為：$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．