Question

已知函數(shù)f（x）=

ex-1，x＞0 1 3 x3- 1 2 ax2，x≤0

（其中a∈R，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）試求函數(shù)f（x）在R上的極值；
（Ⅱ）若x₁＞x₂＞0，試證f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意易知，f（x）在R上連續(xù)，且f（x）=e^x-1為增函數(shù)，故討論f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²的單調(diào)性即可，求導(dǎo)f′（x）=x²-ax=x（x-a）；由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求極值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-ln（x+1），求導(dǎo)h′（x）=e^x-

1

x+1

，從而可證明h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而可證明f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂），再證g（x₁-x₂）-（g（x₁）-g（x₂））＞0即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意易知，f（x）在R上連續(xù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^x-1為增函數(shù)；
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²；
f′（x）=x²-ax=x（x-a）；
當(dāng)a≥0時(shí)，x（x-a）≥0，
故f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²在[0，+∞）上為增函數(shù)，
故沒有極值，
當(dāng)a＜0時(shí)，
a＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，x≤a時(shí)，f′（x）≥0；
故f（x）在（-∞，a]上是增函數(shù)，在（a，0）上是減函數(shù)，
故f（x）在x=a處有極大值-

a3

6

；f（x）在x=0處有極小值f（0）=0；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-ln（x+1），
則h′（x）=e^x-

1

x+1

，
由函數(shù)的運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，
h′（x）=e^x-

1

x+1

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故h′（x）＞h′（0）=1-1=0；
故h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故h（x）＞h（0）=1-1-0=0；
又∵x₁＞x₂＞0，∴x₁-x₂＞0；
故h（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）；
而g（x₁-x₂）-（g（x₁）-g（x₂））
=ln（x₁-x₂+1）-（ln（x₁+1）-ln（x₂+1））
=ln（x₁-x₂+1）-ln

x1+1

x2+1

，
∵x₁-x₂+1-

x1+1

x2+1

=

x2(x1-x2)

x2+1

＞0；
故ln（x₁-x₂+1）-ln

x1+1

x2+1

＞0，
故g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）．
故f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的極值的求法，同時(shí)考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，屬于中檔題．