Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x-3）²+（y-4）²=1，圓C₂：（x+1）²+y²=1；
（1）求過點(diǎn)A（4，6）的圓C₁的切線l的方程；
（2）已知圓C₃：（x+1）²+y²=9，動圓M半徑為1，圓心M在圓心C₃上移動，過圓M上任作圓C₂的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求

C1E

•

C1F

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件，即可得到結(jié)論．
（2）由圓的幾何性質(zhì)得，|DC₁|-r≤|PC₁|≤|DC₁|+r，即2≤|PC₁|≤4，利用向量的數(shù)量積公式，即可求

C1E

•

C1F

的取值范圍；

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（4，6）不在圓C₁上，
∴若過A的切線斜率不存在，則此時(shí)切線方程為x=4，圓心（3，4）到直線x=4的距離d=1，滿足直線和圓相切，
若直線斜率存在，設(shè)斜率為k，
則切線方程為y-6=k（x-4），即kx-y+6-4k=0，
圓心（3，4）到直線的距離d=

|3k-4+6-4k|

1+k2

=

|2-k|

1+k2

=1，
平方解得k=

3

4

，此時(shí)對于的切線方程為3x-4y+12=0，
則滿足條件的切線方程為x=4或3x-4y+12=0．
（2）設(shè)∠EC₁F=2α，則在Rt△PC₁F中，cosα=

|C1E|

|PC1|

=

1

|PC1|

，
則cos2α=2cos²α-1=

2

|PC1|2

-1，
則

C1E

•

C1F

=|

C1E

|•|

C1F

|cos2α=cos2α=

2

|PC1|2

-1，
由圓的幾何性質(zhì)得|DC₁|-r≤|PC₁|≤|DC₁|+r，
即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC₁|²≤16，
則

C1E

•

C1F

的最大值為-

1

2

，最小值為-

7

8

，
故

C1E

•

C1F

的取值范圍是[-

7

8

，-

1

2

]．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．