Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=（x-k）²+k（k∈R）
（1）證明：拋物線y=f（x）與直線y=x始終有2個不同的交點(diǎn)A，B，且線段AB的長為定值；
（2）設(shè)F（x）=

f(x) (f(x)＞x) x (f(x)≤x)

，存在實(shí)數(shù)m，使得m≤F（x）≤m+1對x∈[2，3]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用二次方程的判別式大于0，即可得證，求出A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，計算可得AB的長；
（2）求出F（x）的分段函數(shù)式，對k討論，分①k≥3時，②k≤1，③2≤k＜3時，④當(dāng)1＜k＜2時，判斷F（x）在[2，3]的單調(diào)性，求出最值，令m不大于最小值，m+1不小于最大值，解不等式即可得到k的范圍．

解答： （1）證明：聯(lián)立直線y=x和拋物線f（x）=（x-k）²+k，
可得x²-（2k+1）x+k²+k=0，
判別式為（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
則二次方程恒有兩個不相等的實(shí)根，
即拋物線y=f（x）與直線y=x始終有2個不同的交點(diǎn)A，B，
由x²-（2k+1）x+k²+k=0，可得x₁=k，x₂=k+1，
可得A（k，k），B（k+1，k+1），即有|AB|=

2

；
（2）解：由f（x）＞x可得，x≥k+1或x≤k，
f（x）≤x可得，k≤x≤k+1．
則有F（x）=

(x-k)2+k，x≤k x，k＜x＜k+1 (x-k)2+k，x≥k+1

，
①k≥3時，F(xiàn)（x）在[2，3]遞減，
則F（2）=（2-k）²+k≤m+1且F（3）=（3-k）²+k≥m，
則k²-3k+3≤m≤k²-5k+9，解得k≤3，即為k=3；
②k+1≤2，即k≤1，F(xiàn)（x）在[2，3]遞增，
則有F（2）=（2-k）²+k≥m且F（3）=（3-k）²+k≤m+1，
則k²-5k+8≤m≤k²-3k+4，解得k≥2，無解；
③2≤k＜3時，F(xiàn)（x）在[2，3]先減后增，
則F（k）=k≥m且F（2）=（2-k）²+k≤m+1，
且F3）=3≤m+1，則2≤k≤3，即有2≤k＜3；
④當(dāng)1＜k＜2時，F(xiàn)（x）在[2，3]遞增，
則F（2）=2≥m且F（3）=（3-k）²+k≤m+1，
則有k²-5k+8≤m≤2，
解得2≤k≤3，無解．
綜上可得，2≤k≤3．

點(diǎn)評：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查二次方程有實(shí)根的條件，考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查分類討論的思想方法，考查二次函數(shù)的最值問題的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．