Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*，令c_n=

bn+1

2n+1

，n∈N^*，求數(shù)列{c_nc_n+1}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用遞推式可得bn=

2n

n

（n≥2），再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
∴

a

2 4

=a2•a8，即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，
解得d=0（舍）或d=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）d=n，即a_n=n． 
（II）由a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1，
a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=2n（n≥2），
兩式相減得anbn=2n+1-2n=2n，即bn=

2n

n

（n≥2），
則cn=

bn+1

2n+1

=

1

n+1

，cn+1=

bn+2

2n+2

=

1

n+2

，
∴cncn+1=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Sn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．