Question

公安機(jī)關(guān)交通管理部門規(guī)定，獲取《機(jī)動(dòng)車駕駛證》必須依次參加交管部門組織的“理論”“倒樁”“考場(chǎng)”和“路考”四個(gè)科目的考試，前一科目考試合格才能參加后一科目考試，且每個(gè)科目考試都合格才能獲得駕駛證．已知某人參加考試能一次性通過(guò)各科目的概率均為

4

5

，且各科目考試能否通過(guò)互不影響．
（1）求該人進(jìn)入“路考”科目考試且該科目考試不合格的概率；
（2）求該人至多進(jìn)入“倒樁”科目考試的概率；
（3）設(shè)ξ表示該人通過(guò)的考試科目總數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）分別記該人通過(guò)“理論”“倒樁”“考場(chǎng)”和“路考”科目考試概率為A₁，A₂，A₃，A₄，則該人進(jìn)入“路考”科目考試且該科目考試不合格的概率為P=P（A₁A₂A₃

.

A4

），由此能求出結(jié)果．
（2）該人至多進(jìn)入“考場(chǎng)”科目考試的概率為：P（

.

A1

）+P(A1

.

A2

），由此能求出結(jié)果．
（3）由題意知ξ=0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）分別記該人通過(guò)“理論”“倒樁”“考場(chǎng)”和“路考”科目考試概率為A₁，A₂，A₃，A₄，
則該人進(jìn)入“路考”科目考試且該科目考試不合格的概率為
P=P（A₁A₂A₃

.

A4

）=

4

5

×

4

5

×

4

5

×(1-

4

5

)=

64

625

．
（2）該人至多進(jìn)入“考場(chǎng)”科目考試的概率為：
P（

.

A1

）+P(A1

.

A2

）=

1

5

+

4

5

×

1

5

=

9

25

．
（3）由題意知ξ=0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=P（

.

A1

）=

1

5

，
P（ξ=1）=P（A1

.

A2

）=

4

5

×

1

5

=

4

25

，
P（ξ=2）=P（A₁A₂

.

A3

）=

4

5

×

4

5

×

1

5

=

16

125

，
P（ξ=3）=P（A1A2A3

.

A4

）=

4

5

×

4

5

×

4

5

×

1

5

=

64

625

，
P（ξ=4）=

4

5

×

4

5

×

4

5

×

4

5

=

256

625

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 5	4 25	16 125	64 625	256 625

Eξ=1×

4

25

+2×

16

125

+3×

64

625

+4×

256

625

=

1476

625

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題．