Question

6．（1）已知a，b都是正數(shù)，求證：a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²．
（2）已知a＞0，證明：$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}≥（a+\frac{1}{a}）-（2-\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用作差比較法，通過因式分解法，判斷符號(hào)，即可得證；
（2）運(yùn)用分析法證明．要證原不等式成立，通過兩邊平方，化簡(jiǎn)整理，再由基本不等式即可得證．

解答 （1）證明：由a，b＞0，可得
a⁵+b⁵-a²b³-a³b²=（a⁵-a²b³）+（b⁵-a³b²）
=a²（a³-b³）-b²（a³-b³）
=（a²-b²）（a³-b³）
=（a-b）²（a+b）（a²+ab+b²）≥0，
即有a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²；
（2）要證$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}≥（a+\frac{1}{a}）-（2-\sqrt{2}）$，
只要證${a^2}+\frac{1}{a^2}≥{（a+\frac{1}{a}）^2}-2（2-\sqrt{2}）（a+\frac{1}{a}）+{（2-\sqrt{2}）^2}$，
即要證$0≥2-2（2-\sqrt{2}）（a+\frac{1}{a}）+（6-4\sqrt{2}）$，
即要證$2（2-\sqrt{2}）（a+\frac{1}{a}）≥8-4\sqrt{2}$，
即要證$a+\frac{1}{a}≥2$，
因?yàn)閍＞0，所以$a+\frac{1}{a}≥2\sqrt{a•\frac{1}{a}}=2$，
所以$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}≥（a+\frac{1}{a}）-（2-\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差比較法和分析法證明，考查推理能力，屬于中檔題．