Question

16．已知拋物線E：y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A（2，m）（m＞0）在拋物線E上，且|AF|=3．
（Ⅰ）求拋物線E的方程和A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)（2，0）且平行于AF的直線l與拋物線E相交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線定義，求出p，即可求出求拋物線E的方程，A代入拋物線方程，即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求出直線l的方程，代入y²=4x整理得2x²-9x+8=0，利用弦長(zhǎng)公式求出|MN|．

解答 解：（Ⅰ）由題意和拋物線定義得$2+\frac{p}{2}=3$，解得p=2，
故拋物線E的方程為y²=4x，…（3分）
因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線E上，所以m²=8，又m＞0，
故$m=2\sqrt{2}$，于是$A（2，2\sqrt{2}）$．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知F（1，0），$A（2，2\sqrt{2}）$，故直線AF的斜率為$2\sqrt{2}$
由題意得直線l的方程為$y=2\sqrt{2}（x-2）$，…（8分）
把它代入y²=4x整理得2x²-9x+8=0，△=（-9）²-4×2×8＞0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{9}{2}，{x_1}{x_2}=4$…（10分）
故$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{{（2\sqrt{2}）}^2}}•\sqrt{{{（\frac{9}{2}）}^2}-4×4}=\frac{{3\sqrt{17}}}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．