Question

已知函數f（x）=e^x-x（e為自然對數的底數）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）設不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設n∈N^*，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導，令f'（x）＞0，f′（x）＜0，得f（x）的單調區(qū)間，進而得當x=0時，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）把f（x）解析式代入不等式，先驗證x=0時，不等式顯然成立，只需考慮x∈（0，2]的情況，分離參數a，寫在左邊，設右邊的為函數g（x），求導，得出g（x）的單調性，進而得當x=1時，g（x）取得最小值e-1，得實數a的取值范圍；
（Ⅲ）由等比數列{e^-（n-1）}的前n項和公式求出前n項和，小于，只需求題干中不等式的左邊小于等比數列{e^-（n-1）}的前n項和，轉化為項與項的大小關系，兩邊開n次方根得（*），因（Ⅰ）中f（x）的最小值1，所以e^x-x≥1，即1+x≤e^x，（*）式取正整數時符合1+x＜e^x，故得證．
解答：解：（Ⅰ）解：f（x）的導數f′（x）=e^x-1．令f'（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．
從而f（x）在（-∞，0）內單調遞減，在（0，+∞）內單調遞增．
所以，當x=0時，f（x）取得最小值1（3分）
（Ⅱ）解：因為不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以對于任意x∈[0，2]，
不等式f（x）＞ax恒成立（4分）由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x．
當x=0時，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈（0，2]的情況（5分）
將（a+1）x＜e^x變形為，令，則g（x）的導數，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．從而g（x）在（0，1）內單調遞減，在（1，2）內單調增．
所以，當x=1時，g（x）取得最小值e-1，
從而實數a的取值范圍是（-∞，e-1）（8分）
（Ⅲ）證明：因e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1=＜
只需證明：++…++＜e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1．（10分）
即（i=1，2，…，n-1）．即（i=1，2，…，n-1），（*）
由（Ⅰ）得，對于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
當時（*）式成立．故原不等式成立（12分）
點評：會利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．證明不等式時用到放縮法，此法運用靈活，涉及知識點多，訓練邏輯推理，抽象概括能力，綜合運用能力．屬難題．