設(shè)函數(shù)f（x）=（3-2a）lnx+
2
x
+3ax，a∈R
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=
3
2
時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間[
2
3
，4+n+
1
n
]上總有m+2個(gè)數(shù)使得f（a1）+f（a2）+f（a3）+…f（an）＜f（an+1）+f（an+2）成立，試問(wèn)：正整數(shù)m是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）先求函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），再求導(dǎo)f′(x)=
3ax2+(3-2a)x-2
x2
；討論a的取值從而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=
3
2
時(shí)，由（2）得f(x)在[
2
3
，4+n+
1
n
]上單調(diào)遞增，從而可得f(x)min=f(
2
3
)=6，f(x)max=f(4+n+
1
n
)；故化為mf(
2
3
)＜2f(4+n+
1
n
)恒成立；從而解得．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=
3ax2+(3-2a)x-2
x2
；
當(dāng)a=0時(shí)，由f′（x）≤0得x∈(0，
2
3
]，由f′（x）≥0得x∈[
2
3
，+∞)； 
當(dāng)a≠0時(shí)，令f′（x）=0得x1=-
1
a
，x2=
2
3
；
若a＞0，由f′（x）≤0得x∈(0，
2
3
]；由f′（x）≥0得x∈[
2
3
，+∞)；
若a＜0，
①當(dāng)-
1
a
＜
2
3
，即a＜-
3
2
時(shí)，由f′（x）≥0得x∈[-
1
a
，
2
3
]，由f′（x）≤0得x∈(0，-
1
a
]或x∈[
2
3
，+∞)；
②當(dāng)-
1
a
=
2
3
，即a=-
3
2
時(shí)，恒有f′（x）≤0；
③當(dāng)-
1
a
＞
2
3
，即-
3
2
＜a＜0時(shí)，由f′（x）≥0得x∈[
2
3
，-
1
a
]，由f′（x）≤0得x∈(0，
2
3
]或x∈[-
1
a
，+∞)．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，
2
3
]，單調(diào)遞增區(qū)間為[
2
3
，+∞)；
當(dāng)a＜-
3
2
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，-
1
a
]，[
2
3
，+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為[-
1
a
，
2
3
]；
當(dāng)a=-
3
2
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)-
3
2
＜a＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，
2
3
]，[-
1
a
，+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為[
2
3
，-
1
a
]．

（2）當(dāng)a=
3
2
時(shí)，由（2）得f(x)在[
2
3
，4+n+
1
n
]上單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(
2
3
)=6，f(x)max=f(4+n+
1
n
)．
由題意，mf(
2
3
)＜2f(4+n+
1
n
)恒成立．
令k=4+n+
1
n
≥6，且f（k）在[4+n+
1
n
，+∞)上單調(diào)遞增，
fmin(k)=f(6)=27
1
3
，
因此m＜9
1
9
，
而m是正整數(shù)，
故m≤9，
∴mmax=9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，特別是分類比較困難，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩條互相垂直的直線與拋物線y=ax2（a＞）分別相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求△OAB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合U={0，1，2，3}，A={1，2}，則∁UA=（　�。�
A、{1，2}
B、{0，3}
C、{0，1}
D、{0，1，2，3}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓Ω：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2
3
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，
3
2
）．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）A是橢圓Ω與y軸正半軸的交點(diǎn)，橢圓Ω上是否存在兩點(diǎn)M、N，使得△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a2≤2，a3≤4，a1+a4≥4，當(dāng)a4取得最大值時(shí)，數(shù)列{an}的公差為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)的和為
3
4
，前三項(xiàng)的積為-
1
8
．
（Ⅰ）求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a2，a3，a1成等差數(shù)列，設(shè)bn=（2n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知 a、b為平面向量，若a+b與a的夾角為
π
3
，a+b與b的夾角為
π
4
，則
|a|
|b|
=（　　）
A、
3
3
B、
5
3
C、
6
3
D、
6
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，直線l過(guò)點(diǎn)T（t，0）且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB為銳角，則t的取值范圍是（　�。�
A、0＜t＜4
B、0＜t＜2
C、t≥2
D、t＞4或t＜0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）的零點(diǎn)與g（x）=4x+2x-2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25，則f（x）可以是（　�。�
A、f（x）=ex-1
B、f（x）=（x-1）2
C、f（x）=4x-1
D、f（x）=ln（x-
1
2
）

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