已知橢圓Ω:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦距為2
3
,且經(jīng)過點(1,
3
2
).
(Ⅰ)求橢圓Ω的方程;
(Ⅱ)A是橢圓Ω與y軸正半軸的交點,橢圓Ω上是否存在兩點M、N,使得△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請說明有幾個;若不存在,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)
專題:計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)由橢圓的a,b,c的關(guān)系和已知點在橢圓上,解方程即可得到a,b,進而得到橢圓方程;
(Ⅱ)由題意可知,直角邊AM,AN不可能垂直或平行于x軸,故可設(shè)AM所在直線的方程為y=kx+1,不妨設(shè)k>0,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去y,解方程求得M的坐標(biāo),同樣求得N的坐標(biāo),由AM=AN,求得k,討論k,即可判斷符合條件的三角形的個數(shù).
解答: 解:(Ⅰ)由題意可得,
a2-b2=3
1
a2
+
3
4b2
=1
解得a2=4,b2=1,
所以橢圓Ω的方程為
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)由題意可知,直角邊AM,AN不可能垂直或平行于x軸,
故可設(shè)AM所在直線的方程為y=kx+1,不妨設(shè)k>0,
則直線AM所在的方程為y=-
1
k
x+1

聯(lián)立方程
y=kx+1
x2+4y2=4
,消去y,整理得(1+4k2)x2+8kx=0,
解得xM=-
8k
1+4k2
,
xM=-
8k
1+4k2
,代入y=kx+1可得,yM=
-8k2
1+4k2
+1
,
故點M(-
8k
1+4k2
,
-8k2
1+4k2
+1)

所以|AM|=
(-
8k
1+4k2
)
2
+(-
8k2
1+4k2
)
2
=
8k
1+k2
1+4k2

同理可得|AN|=
8
1+k2
4+k 2
,由|AM|=|AN|,得k(4+k2)=1+4k2,
所以k3-4k2+4k-1=0,則(k-1)(k2-3k+1)=0,解得k=1或k=
5
2

當(dāng)AM斜率k=1時,AN斜率-1;當(dāng)AM斜率k=
3+
5
2
時,AN斜率
-3+
5
2
;
當(dāng)AM斜率k=
3-
5
2
時,AN斜率
-3-
5
2

綜上所述,符合條件的三角形有3個.
點評:本題考查橢圓的方程和性質(zhì),考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,解交點,考查兩直線垂直的條件,考查運算能力,屬于中檔題.
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已知拋物線y2=2px的焦點F(2,0).
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(2)若拋物線的弦AB,M(5,2)為中點,求直線AB的方程及|AB|的長.

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求下列各式的植:
(Ⅰ)(
1
4
)
1
2
+2-3×[(-2)3]
2
3
+(
2
-1)0
;
(Ⅱ)log327+lg4+lg25+10lg2

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已知集合M={x<1},N={x|x>0},則M∩N等于( 。
A、{x|x<1}
B、{x|x>1}
C、{x|0<x<1}
D、∅

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(不等式選做題)若不等式|x+2|+|x-3|≥a+
4
a-1
對任意的實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=-23,Sn≥0的最小正整數(shù)解為n=11,則公差d的取值范圍是(  )
A、(
23
10
,
23
9
]
B、[
23
10
,
23
9
C、(
23
5
,
46
9
]
D、[
23
5
,
46
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=(3-2a)lnx+
2
x
+3ax,a∈R
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=
3
2
時,對任意的正整數(shù)n,在區(qū)間[
2
3
,4+n+
1
n
]上總有m+2個數(shù)使得f(a1)+f(a2)+f(a3)+…f(an)<f(an+1)+f(an+2)成立,試問:正整數(shù)m是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}滿足a1=1,且對于任意的n∈N*都有an+1=an+a1+n,則
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2014
等于(  )
A、
4026
2015
B、
4028
2015
C、
2013
2014
D、
2014
2015

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

關(guān)于x的方程|x+
1
x
|-|x-
1
x
|-kx-1=0有五個互不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍
 

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