Question

1．如圖所示的三角形數(shù)陣教“牛頓調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為$\frac{1}{n}（{n≥2}）$，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如圖

則（1）第6行第2個(gè)數(shù)（從左到右）為$\frac{1}{30}$；
（2）第n行第3個(gè)數(shù)（從左到右）為$\frac{1}{n（n-1）（n-2）}$．

Answer 1

分析 根據(jù)“牛頓調(diào)和三角形”的特征，每個(gè)數(shù)是它下一個(gè)行左右相鄰兩數(shù)的和，得出將楊暉三角形中的每一個(gè)數(shù)C_n^r都換成分?jǐn)?shù)$\frac{1}{{（{n+1}）C_n^r}}$，就得到一個(gè)萊布尼茲三角形，從而可求出第n（n≥3）行第3個(gè)數(shù)字，第6行第2個(gè)數(shù)

解答 解：（1）第六行第一個(gè)數(shù)是$\frac{1}{6}$，第二個(gè)數(shù)設(shè)為a_（6，2），
那么$\frac{1}{6}+{a_{（{6，2}）}}=\frac{1}{5}$，所以${a_{（{6，2}）}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$，
（2）將楊輝三角形中的每一個(gè)數(shù)$C_n^r$都換成分?jǐn)?shù)$\frac{1}{{（{n+1}）C_n^r}}$，
就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，
因?yàn)闂钶x三角形中的第n（n≥3）行第3個(gè)數(shù)字是$C_{n-1}^2$，
那么如圖三角形數(shù)的第n（n≥3）行第3個(gè)數(shù)字是$\frac{1}{{nC_{n-1}^2}}=\frac{2}{{n（{n-1}）（{n-2}）}}$，
故答案為：$\frac{1}{30}，\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的歸納推理能力，屬于中檔題型，學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)過楊輝三角，這個(gè)三角形數(shù)陣與楊輝三角有關(guān)聯(lián)，所以要熟悉楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系，并且有很好的觀察能力，將楊輝三角形中的每一個(gè)數(shù)$C_n^r$都換成分?jǐn)?shù)$\frac{1}{{（{n+1}）C_n^r}}$，就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，并且在轉(zhuǎn)化的時(shí)候，組合數(shù)的上標(biāo)和下標(biāo)不要弄錯(cuò)，仔細(xì)解答．