Question

11．有一隧道內(nèi)設為雙向兩車道公路（道路一側(cè)只能行駛一輛車），其界面由一長方形和一條圓弧組成，如圖所示，隧道總寬度為8米，總高度為6米，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米，若行車道總寬度AB為6米（車道AB與隧道兩側(cè)墻壁之間各有1米寬的公共設施，禁止行車）
（1）按圖中所示的直角坐標系xOy，求隧道上部圓弧所在的圓的標準方程；
（2）計算車輛通過隧道時的限制高度是多少？（精確到0.1米）
參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{6}$=2.45，$\sqrt{7}$=2.65，$\sqrt{43}$=6.56．

Answer 1

分析 （1）由題意設出圓的標準方程，再帶點求出未知量即可．
（2）將x的值代入，由此得到限制高度．

解答 解：（1）由題意，設圓的方程為x²+（y-b）²=r²
∵點（4，0），（0，3）在圓上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+^{2}={r}^{2}}\\{0+（3-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{7}{6}}\\{{r}^{2}=（\frac{25}{6}）^{2}}\end{array}\right.$
故所求方程為：x²+（y+$\frac{7}{6}$）²=（$\frac{25}{6}$）²；
（2）由（1）把x=3帶入方程得，9+（y+$\frac{7}{6}$）²=（$\frac{25}{6}$）²
∴y=$\frac{\sqrt{43}×\sqrt{7}}{6}$≈1.73
因此，限制高度為：3+1.73-0.5=4.2（米）
答：限制高度應為4.2米．

點評 本題考察數(shù)形結合的思想，以及待定系數(shù)法解決問題，假設出標準方程再求未知量．