Question

19．非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足：（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow b$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的充要條件即可由條件得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0，（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow=0$，然后進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得出$\left\{\begin{array}{l}{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0}\\{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=0}\end{array}\right.$，消去$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$即可得到$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}=\sqrt{2}$，而容易得出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{|\overrightarrow|}{2|\overrightarrow{a}|}$，這樣便可得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：根據(jù)條件，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=$2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞+|\overrightarrow{|}^{2}=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{|\overrightarrow|}{2|\overrightarrow{a}|}$，且$\left\{\begin{array}{l}{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0}\\{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=0}\end{array}\right.$；
消去$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$得，$2{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=0$；
∴$|\overrightarrow|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}|$；
∴$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}=\sqrt{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{3π}{4}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及消元法的運(yùn)用，向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角的方法．