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6.已知三棱錐A-BCD中,AC=BD=BC=AD=5,AB=DC=2,則該三棱錐外接球的體積為6π.

分析 由三棱錐的對邊相等可得三棱錐A-BCD為某一長方體的對角線組成的三棱錐,求出長方體的棱長即可得出外接球的半徑,從而計(jì)算出外接球的體積.

解答 解:∵AC=BD=BC=AD=5,AB=DC=2,
∴三棱錐A-BCD可看做對角線分別為55,2的長方體的對角線所組成的三棱錐,
設(shè)長方體的棱長為a,b,c,則{a2+2=5a2+c2=52+c2=2,解得{a2=42=1c2=1
∴長方體的體對角線長為a2+2+c2=6,即三棱錐的外接球的直徑為6,
∴外接球的半徑為r=62
∴外接球的體積V=\frac{4}{3}π{r}^{3}=\frac{4}{3}×π×(\frac{\sqrt{6}}{2})^{3}=\sqrt{6}π.
故答案為:\sqrt{6}π

點(diǎn)評 本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系,棱錐的體積計(jì)算,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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