Question

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，若角滿(mǎn)足，求的取值范圍；

（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)與的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）由函數(shù)的周期公式可求出的值，求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，結(jié)合直線為一條對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合的范圍可得出的值，于此得出函數(shù)的解析式；

（2）由得出，再由結(jié)合銳角三角函數(shù)得出，利用正弦定理以及內(nèi)角和定理得出，由條件得出，于此可計(jì)算出的取值范圍；

（3）令，得，換元得出，得出方程，設(shè)該方程的兩根為、，由韋達(dá)定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三種情況討論，計(jì)算出關(guān)于的方程在一個(gè)周期區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)，結(jié)合已知條件得出與的值.

（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，，

令，得，

由于直線為函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以，，

得，由于，，則，

因此，；

（2），由三角形的內(nèi)角和定理得，.

，且，，.

，

由，得，由銳角三角函數(shù)的定義得，，

由正弦定理得，，

，

，且，，，.

，因此，的取值范圍是；

（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，

得到函數(shù)，

再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，

，

令，可得，

令，得，，

則關(guān)于的二次方程必有兩不等實(shí)根、，則，則、異號(hào)，

（i）當(dāng)且時(shí)，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，

從而方程在也有偶數(shù)個(gè)根，不合乎題意；

（ii）當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，

所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，

由于，則方程在上有個(gè)根，由于方程在區(qū)間上只有一個(gè)根，在區(qū)間上無(wú)實(shí)解，方程在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上有兩個(gè)根，因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個(gè)根，在區(qū)間上有個(gè)根，不合乎題意；

（iii）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，

所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，

由于，則方程在上有個(gè)根，由于方程在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)根，在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)解，

因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個(gè)根，在區(qū)間上有個(gè)根，此時(shí)，，得.

綜上所述：，.