Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后，得到的圖象關(guān)于原點對稱，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用誘導公式、二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)公式化簡解析式，
（Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間得：2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求出x的范圍，結(jié)合定義域求出f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)平移法則求出平移后的函數(shù)g（x）的解析式，再由圖象關(guān)于原點對稱得到g（0）=0，列出m的方程并化簡，根據(jù)m的范圍求出m的最小值．

解答： 解：由題意得，f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x
=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
（Ⅰ）令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

得，
kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

（k∈Z），
又x∈[0，π]，所以x∈[

3π

8

，

7π

8

]，
則函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間是[

3π

8

，

7π

8

]；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)的圖象向右平移m（m＞0）個單位后，
得到函數(shù)g（x）=

2

sin[2(x-m)-

π

4

]=

2

sin(2x-2m-

π

4

)的圖象，
又其函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則g（0）=0，
即-

π

4

-2m=kπ(k∈Z)，解得m=-

kπ

2

-

π

8

（k∈Z），
因為m＞0，令k=-1得m=

3π

8

，
所以實數(shù)m的最小值是

3π

8

．

點評：本題考查了誘導公式、二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象平移變換，屬于中檔題．