Question

11．雙曲線C和橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1有相同的焦點，它的一條漸近線為y=$\sqrt{2}$x，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標(biāo)，可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\sqrt{2}$x，設(shè)雙曲線的方程為2x²-y²=λ，即$\frac{{x}^{2}}{\frac{λ}{2}}-\frac{{y}^{2}}{λ}$=1，從而可得$\frac{1}{2}$λ+λ=9，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1的焦點坐標(biāo)為（±3，0），
∴雙曲線的焦點坐標(biāo)為（±3，0），
∵雙曲線的一條漸近線方程為y=$\sqrt{2}$x，
∴設(shè)雙曲線的方程為2x²-y²=λ，
即$\frac{{x}^{2}}{\frac{λ}{2}}-\frac{{y}^{2}}{λ}$=1
∴$\frac{1}{2}$λ+λ=9，
∴λ=6，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程，考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，確定雙曲線的焦點坐標(biāo)是關(guān)鍵．