3.如圖長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的AA1=1,底面ABCD的周長(zhǎng)為4,E為BA1的中點(diǎn).
(1)判斷兩直線EC1與AD的位置關(guān)系,并給予證明;
(2)當(dāng)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積最大時(shí),求直線BA1與平面A1CD所成角θ.

分析 (1)EC1與AD是相交直線.連接AB1,C1D,說(shuō)明A,E,C1,D四點(diǎn)共面,EC1與AD為梯形兩腰,即可得到結(jié)果.
(2)利用等體積法求出AB,以邊AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示直角坐標(biāo)系,求出平面A1CD的法向量,利用向量的數(shù)量積求解直線與平面所成角的大。

解答 解:(1)EC1與AD是相交直線.…(1分)
證明如下:連接AB1,C1D,則AB1C1D是平行四邊形,
∵E也是AB1的中點(diǎn),∴$AE∥{C_1}D,AE=\frac{1}{2}{C_1}D$,
∴AEC1D為梯形,A,E,C1,D四點(diǎn)共面,EC1與AD為梯形兩腰,
故EC1與AD相交.…(5分)

(2)設(shè)$AB=b,AD=2-b,{V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}=b(2-b)×A{A_1}=b(2-b)≤{(\frac{b+2-b}{2})^2}=1$
當(dāng)且僅當(dāng)b=2-b,b=1時(shí)取等號(hào)…(7分)
分別以邊AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示直角坐標(biāo)系,
則B(1,0,0),A1(0,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),$\overrightarrow{B{A_1}}=(-1,0,1),\overrightarrow{CD}=(-1,0,0),\overrightarrow{C{A_1}}=(-1,-1,1)$,
設(shè)平面A1CD的法向量為$\overrightarrow n=(x,y,z)$,
則$\left\{\begin{array}{l}-x=0\\-x-y+z=0\end{array}\right.$,取z=1,則$\overrightarrow n=(0,1,1)$…(10分)
∴$sinθ=|{cos<\overrightarrow{B{A_1}},\overrightarrow n>}|=\frac{1}{{\sqrt{2}×\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$,…(11分)
∴$θ=\frac{π}{6}$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面所成角的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

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