Question

3．如圖長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周長為4，E為BA₁的中點．
（1）判斷兩直線EC₁與AD的位置關系，并給予證明；
（2）當長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大時，求直線BA₁與平面A₁CD所成角θ．

Answer 1

分析 （1）EC₁與AD是相交直線．連接AB₁，C₁D，說明A，E，C₁，D四點共面，EC₁與AD為梯形兩腰，即可得到結果．
（2）利用等體積法求出AB，以邊AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示直角坐標系，求出平面A₁CD的法向量，利用向量的數(shù)量積求解直線與平面所成角的大�。�

解答 解：（1）EC₁與AD是相交直線．…（1分）
證明如下：連接AB₁，C₁D，則AB₁C₁D是平行四邊形，
∵E也是AB₁的中點，∴$AE∥{C_1}D，AE=\frac{1}{2}{C_1}D$，
∴AEC₁D為梯形，A，E，C₁，D四點共面，EC₁與AD為梯形兩腰，
故EC₁與AD相交．…（5分）

（2）設$AB=b，AD=2-b，{V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}=b（2-b）×A{A_1}=b（2-b）≤{（\frac{b+2-b}{2}）^2}=1$
當且僅當b=2-b，b=1時取等號…（7分）
分別以邊AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示直角坐標系，
則B（1，0，0），A₁（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），$\overrightarrow{B{A_1}}=（-1，0，1），\overrightarrow{CD}=（-1，0，0），\overrightarrow{C{A_1}}=（-1，-1，1）$，
設平面A₁CD的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}-x=0\\-x-y+z=0\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow n=（0，1，1）$…（10分）
∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{B{A_1}}，\overrightarrow n＞}|=\frac{1}{{\sqrt{2}×\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$，…（11分）
∴$θ=\frac{π}{6}$．…（12分）

點評 本題考查直線與直線的位置關系，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．