Question

8．已知矩形ABCD，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，將平面ABC沿直線AC翻折，使得BD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，則三棱錐B-ACD的體積為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，根據(jù)各邊的長度列方程求出棱錐的高．

解答 解：以B為原點建立如圖所示的空間坐標系，
則AB=CD=1，AD=BC=$\sqrt{3}$，∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=2$．BD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴A（-1，0，0），B（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)D（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=\frac{7}{4}}\\{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得z=$\frac{3}{4}$．
∴三棱錐D-ABC的高h=$\frac{3}{4}$．
∴三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BC×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，求出棱錐的高是解題關(guān)鍵．