Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，a₂=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2^a_n（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），求λ的值，使得對任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），變形為S_n+1-S_n-（S_n-S_n-1）=1，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2^a_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹，要使得對任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立，只須b_n+1-b_n＞0恒成立．化為（-1）^n-1λ＜2^n-1．對n分為奇數(shù)偶數(shù)討論即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），∴S_n+1-S_n-（S_n-S_n-1）=1，
∴a_n+1-a_n=1，且a₂-a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．

（2）b_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2^a_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹，
要使得對任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立，只須b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立．
化為（-1）^n-1λ＜2^n-1．（i）當(dāng)n為奇數(shù)時，λ＜2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，2^n-1有最小值1，∴λ＜1．
（ii）當(dāng)n為偶數(shù)時，λ＞-2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，-2^n-1有最大值1，∴λ＞-2．
綜上可得：-2＜λ＜1，又λ為非0整數(shù)，則λ=-1．
因此存在非0整數(shù)λ=-1，使得對任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立．

點評：本題考查了遞推式、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．