Question

已知遞增的等差數(shù)列{a_n}與等比數(shù)列{b_n}（n∈N^*），滿足：a₁=b₁=1，a₂=b₂+1，a₄=b₄-1
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù){a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q．
∵a₁=b₁=1，a₂=b₂+1，a₄=b₄-1，
∴1+d=q+1，1+3d=q³-1，
解得d=q=2，d=q=-1舍去，
∴an=2n-1，bn=2n-1（n∈N^*）．
（2）a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2S_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴-S_n=1+2×2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ=

2•(2n-1)

2-1

-1-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．