Question

18．設正實數x，y，z滿足x²-xy+y²-z=0．則當$\frac{xy}{z}$取得最大值時，$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$的最大值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 利用基本不等式求出當$\frac{xy}{z}$取得最大值時x=y，z=x²，代入$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$得出$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$關于x的函數，求出此函數的最大值即可．

解答 解：∵x²-xy+y²-z=0，∴z=x²-xy+y²，
∴$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$≤$\frac{xy}{2xy-xy}=1$，當且僅當x=y時取得等號．
∴當$\frac{xy}{z}$取得最大值時，z=x²，y=x，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$=$\frac{2}{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{3x-1}{{x}^{2}}$，
令f（x）=$\frac{3x-1}{{x}^{2}}$，則f′（x）=$\frac{2-3x}{{x}^{3}}$，
∴當0＜x$＜\frac{2}{3}$時，f′（x）＞0，當x$＞\frac{2}{3}$時，f′（x）＜0，
∴當x=$\frac{2}{3}$時，f（x）取得最大值f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{9}{4}$．
故選C．

點評 本題考查了基本不等式的應用，函數最值的求法，屬于中檔題．