Question

2．已知數(shù)列{a_n}前n項的和為S_n，且滿足a₁=23，a₂=-9，a_n+2=a_n+6×（-1）ⁿ⁺¹-2．n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求當S_n最大時n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：當n=2k-1時，a_2k+1-a_2k-1=4，數(shù)列{a_n}中的奇項構(gòu)成首項為23，公等于4的等差數(shù)列；當n=2k時，a_2k+2-a_2k=-8，偶數(shù)項構(gòu)成首項為-9，公差等于-8的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：a_2k-1+a_2k=-4k+18，因此數(shù)列{a_2k-1+a_2k}是以14為首項，以-4為公差的等差數(shù)列，S_2k=$\frac{[14+（-4k+18）]k}{2}$=-2k²+16k=-2（k-4）²+32，
當k=4時，S₈取得最大值32，即S₈取得最大值32，S_2k-1=S_2k-a_2k=-2k²+24k+1=-2（k-6）²+73，則k=6時，S₁₁取得最大值73，因此當S_n最大時，n的值為11．

解答 解：（1）由a_n+2=a_n+6×（-1）ⁿ⁺¹-2．n∈N^*，
當n=2k-1時，a_2k+1-a_2k-1=4，
當n=2k時，a_2k+2-a_2k=-8…（2分）
數(shù)列{a_n}中的奇項構(gòu)成首項為23，公等于4的等差數(shù)列；
偶數(shù)項構(gòu)成首項為-9，公差等于-8的等差數(shù)列．
a_2k-1=23+（k-1）×4=4k+19，
當n為奇數(shù)時a_n=2n+21…（4分）
a_2k=-9+（k-1）×（-8）=-8k-1，
當n為偶數(shù)時，a_n=-4n-1，…（6分）
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n+2}&{n≥1，n為奇數(shù)}\\{-4n-1}&{n≥2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；…（8分）
（2）由（1）知：a_2k-1+a_2k=-4k+18，
當k=1時，a₁+a₂=14，
∴{a_2k-1+a_2k}是以14為首項，以-4為公差的等差數(shù)列，
S_2k=$\frac{[14+（-4k+18）]k}{2}$=-2k²+16k=-2（k-4）²+32，
當k=4時，S₈取得最大值32．…（12分）
S_2k-1=S_2k-a_2k=-2k²+24k+1=-2（k-6）²+73，
當k=6時，S₁₁取得最大值73，…（14分）
∴當S_n最大時，n的值為11．…（16分）

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列前n項和公式，一元二次函數(shù)的最值，考查分類討論思想的應用，考查計算能力，屬于中檔題．