Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值為，若存在，求滿足條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1個(gè)

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)可得，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論得：①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，②當(dāng)或時(shí)， 在上單調(diào)遞減，③當(dāng)且時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。（2）結(jié)合（1）可得當(dāng)時(shí)， ，故有，即，可判斷方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)解，所以存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，且只有1個(gè)。

試題解析：

（1）∵，

∴，

①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增。

②當(dāng)，即或時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減。

③當(dāng)且時(shí)，

由 得.

令得；令得.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上遞增；

當(dāng)或時(shí)， 在上遞減；

當(dāng)且時(shí)， 在上遞增，在上遞減.

（2）易知，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴ 當(dāng)時(shí)， 有極大值，也為最大值，且

由題意得 ，

即，

設(shè)，易知為增函數(shù)，且，

∴的唯一零點(diǎn)在上，

∴ 方程有唯一解，

∴ 存在實(shí)數(shù)滿足條件，且實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1個(gè).