【題目】如圖，多面體中，面為矩形，，且．

（1）求證：平面；

（2）求與所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）要證平面，只需證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線、即可；（2）要求與所成的角，即求與所成的角，解三角形可求與所成角的余弦值；（3）過作于又過作于，連接，說明為二面角的平面角，解三角形可求二面角的余弦值．

試題解析：（1）∵是矩形，∴

又，則

， ∴平面

（2）矩形，∴，即，

∴要求與所成的角，即求與所成的角．

在中，由（1）知面，

∴中，，

∴是在面內(nèi)的射影，且，

∴，

，

從而與的成的角的余弦為；

（3）∵中，且，

∴面，

∴面面，為面與面的交線，

∴過作于，∴面，

又過作于，連接，從而得：，

∴為二面角的平面角．

在矩形中，對角線，

∴在中，，

由（2）知在中，，

而中，，且，∴，

∴為等腰直角三角形且為直角，

∴，

∴，

所以所求的二面角的余弦為．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)過點的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知三個班共有學生100人，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲取了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）.

班

6

7

班

6

7

8

班

5

6

7

8

（1）試估計班學生人數(shù)；

（2）從班和班抽出來的學生中各選一名，記班選出的學生為甲，班選出的學生為乙，求甲的鍛煉時間大于乙的鍛煉時間的概率.

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【題目】某校高一（1）班有男同學45名，女同學15名，老師按照分層抽樣的方法抽取4人組建了一個課外興趣小組.

（I）求課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)；

（II）經(jīng)過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗，方法是從小組里選出一名同學做實驗，該同學做完后，再從小組內(nèi)剩下的同學中選出一名同學做實驗，求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率；

（III）在（II）的條件下，第一次做實驗的同學A得到的實驗數(shù)據(jù)為38,40,41,42,44，第二次做實驗的同學B得到的實驗數(shù)據(jù)為39,40,40,42,44，請問哪位同學的實驗更穩(wěn)定？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有兩個不透明的箱子，每個箱子都裝有4個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1,2,3,4.

(1)甲從其中一個箱子中摸出一個球，乙從另一個箱子摸出一個球，誰摸出的球上標的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），求甲獲勝的概率；

(2)摸球方法與（1）同，若規(guī)定：兩人摸到的球上所標數(shù)字相同甲獲勝，所標數(shù)字不相同則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2) 令g(x)＝(2－2m)x－f(x)．

① 若函數(shù)g(x)在x∈[0，2]上是單調函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

② 求函數(shù)g(x)在x∈[0，2]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，短軸兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；

（2）若分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結，交橢圓于點，證明：為定值；

（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

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【題目】已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．

(1) 求向量b＋c的模的最大值；

(2) 若α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．

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【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏，將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級，隨機從中抽取了100名選手進行調查，下面是根據(jù)調查結果繪制的選手等級人數(shù)的條形圖.

（1）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關？

（2）若參賽選手共6萬人，用頻率估計概率，試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù)；

（3）在優(yōu)秀等級的選手中取6名，依次編號為1,2,3,4,5,6，在良好等級的選手中取6名，依次編號為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優(yōu)秀等級的選手中任取一名，記其編號為，在選出的6名良好等級的選手中任取一名，記其編號為，求使得方程組有唯一一組實數(shù)解的概率.

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