Question

9．已知F₁、F₂分別是橢圓E的左右焦點，A為左頂點，P為橢圓E上的點，以PF₁為直徑的圓經過F₂，若$|{P{F_2}}|=\frac{1}{4}|{A{F_2}}|$，則橢圓E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由題意可知：PF₂⊥F₁F₂，求得丨PF₂丨=$\frac{^{2}}{a}$，則丨AF₂丨=$\frac{4^{2}}{a}$，由丨AF₂丨=a+c，即可求得4c²+ac-3a²=0，兩邊同除以a²，由離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由以PF₁為直徑的圓經過F₂，則PF₂⊥F₁F₂，則P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
∴丨PF₂丨=$\frac{^{2}}{a}$，丨AF₂丨=$\frac{4^{2}}{a}$，
由丨AF₂丨=a+c，即a+c=$\frac{4^{2}}{a}$，則a²+ac=4（a²-c²），
整理得：4c²+ac-3a²=0，兩邊同除以a²，
則4e²+e-3=0，解得：e=-1或e=$\frac{3}{4}$，
由0＜e＜1，
∴橢圓E的離心率$\frac{3}{4}$，
故選：D，

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查橢圓離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．