Question

4．某小區(qū)提倡低碳生活，環(huán)保出行，在小區(qū)提供自行車(chē)出租．該小區(qū)有40輛自行車(chē)供小區(qū)住戶(hù)租賃使用，管理這些自行車(chē)的費(fèi)用是每日92元，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車(chē)的日租金不超過(guò)5元，則自行車(chē)可以全部出租，若超過(guò)5元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車(chē)就增加2輛，為了便于結(jié)算，每輛自行車(chē)的日租金x元只取整數(shù)，用f（x）元表示出租自行車(chē)的日純收入（日純收入=一日出租自行車(chē)的總收入-管理費(fèi)用）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其定義域；
（2）當(dāng)租金定為多少時(shí)，才能使一天的純收入最大？

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)關(guān)系建立各個(gè)取值范圍內(nèi)的凈收入與日租金的關(guān)系式，寫(xiě)出該分段函數(shù)，是解決該題的關(guān)鍵，注意實(shí)際問(wèn)題中的自變量取值范圍；
（2）利用一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性解決該最值問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．注意自變量取值區(qū)間上的函數(shù)類(lèi)型．應(yīng)取每段上最大值的較大的即為該函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）由題意：當(dāng)0＜x≤5且x∈N^*時(shí)，f（x）=40x-92  …（1分）
當(dāng)x＞5且x∈N^*時(shí)，f（x）=[40-2（x-5）]x-92=-2x²+50x-92 …（3分）
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}40x-92（0＜x≤5且x∈{N^*}）\\-2{x^2}+50x-92（5＜x≤40且x∈{N^*}）\end{array}\right.$…（5分）
其定義域?yàn)閧x|x∈N^*且x≤40}…（6分）
（2）當(dāng)0＜x≤5且x∈N^*時(shí)，f（x）=40x-92，
∴當(dāng)x=5時(shí)，f（x）_max=108（元）                    …（8分）
當(dāng)x＞5且x∈N^*時(shí)，f（x）=-2x²+50x-92=-2（x-$\frac{25}{2}$）²+$\frac{541}{2}$
∵開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{25}{2}$，
又∵x∈N^*，∴當(dāng)x=12或13時(shí)f（x）_max=220（元）              …（10分）
∵220＞108，∴當(dāng)租金定為12元或13元時(shí)，一天的純收入最大為220元                       …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生的函數(shù)模型意識(shí)，注意分段函數(shù)模型的應(yīng)用．將每一段的函數(shù)解析式找準(zhǔn)相應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型，利用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行解決．