Question

15．（1）有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法有多少種？（用兩種不同的方法求解）
（2）用1、2、3、4這4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有1個(gè)偶數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)字之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？

Answer 1

分析 （1）法1：至少有1個(gè)是一等品的不同取法包括恰有1個(gè)一等品的不同取法，共有C₁₆¹C₄²；恰有2個(gè)一等品的不同取法，共有C₁₆²C₄¹；恰有3個(gè)一等品的不同取法，根據(jù)分類加法原理得到結(jié)果；
法2：考慮其對(duì)立事件“3個(gè)都是二等品”，用間接法可得結(jié)論；
（2）該問題可看作是一個(gè)排列問題，首先由1，3兩個(gè)數(shù)字全排列，形成3個(gè)空，則2，4要么在最前邊的空和1，3之間形成的空兩個(gè)空中排列，要么在最后邊的空和1，3之間形成的空兩個(gè)空中排列，則答案可求．

解答 解：（1）法1：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，
至少有1個(gè)是一等品的不同取法
分三類：恰有1個(gè)一等品的不同取法，共有C₁₆¹C₄²
恰有2個(gè)一等品的不同取法，共有C₁₆²C₄¹
恰有3個(gè)一等品的不同取法，共有C₁₆³
由分類計(jì)數(shù)原理有：C₁₆¹C₄²+C₁₆²C₄¹+C₁₆³=1136種．
法2：考慮其對(duì)立事件“3個(gè)都是二等品”，用間接法，得至少有1個(gè)一等品的不同取法有C₂₀³-C₁₆³=1136種：；
（2）首先把1，3全排列，得到排法種數(shù)為A₂²，
則1，3之間形成三個(gè)空，2，4要么在前兩個(gè)空中全排列，要么在后兩個(gè)空中全排列，
∴四位數(shù)的個(gè)數(shù)為2A₂²A₂²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分類、分步計(jì)數(shù)原理，解題時(shí)一定要分清做這件事需要分為幾類，每一類包含幾種方法，把幾個(gè)步驟中數(shù)字相加得到結(jié)果．本題是一個(gè)中檔題．