Question

5．已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列，求數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁＞0，公差為d＞0；從而可化$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$為$\frac{1}msasiq4$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$），從而解得．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁＞0，公差為d＞0；
則$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}8mqocuk$=$\frac{1}ymi8aoq$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$），
故S_n=$\frac{1}k8wiima$（$\sqrt{{a}_{2}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$）+$\frac{1}ogqsyg4$（$\sqrt{{a}_{3}}$-$\sqrt{{a}_{2}}$）+$\frac{1}skaguui$（$\sqrt{{a}_{4}}$-$\sqrt{{a}_{3}}$）+…+$\frac{1}0cs8gq0$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$）
=$\frac{1}ce4oyku$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$）
=$\frac{1}gqosqi8$（$\sqrt{{a}_{1}+nd}$-$\sqrt{{a}_{1}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分母有理化的應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．