Question

求與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長為的圓的方程．

 

Answer 1

（x－1）2＋（y－3）2＝9或（x＋1）2＋（y＋3）2＝9.

【解析】

試題分析：因為圓心在直線上,可設圓心坐標為,然后再根據(jù)圓C和軸相切可得r=|3a|,直線上截得的弦長為利用弦長公式可得r與a的另一個關系式，兩式聯(lián)立可求

出a,b，r的值，從而得到圓C的方程.

試題解析：解法一:設所求的圓的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

則圓心到直線的距離為

所以，即2r2＝（a－b）2＋14 ①

由于所求的圓與x軸相切，所以r2＝b2 ②

又因為所求圓心在直線3x－y＝0上，則3a－b＝0 ③

聯(lián)立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.

故所求的圓的方程是（x－1）2＋（y－3）2＝9或（x＋1）2＋（y＋3）2＝9.

解法二:設所求的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為，

半徑為 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，

由圓與x軸相切，得Δ＝0，即D2＝4F ④

又圓心到直線的距離為

由已知，得，

即（D－E）2＋56＝2（D2＋E2－4F） ⑤

又圓心在直線3x－y＝0上，則3D－E＝0 ⑥

聯(lián)立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F(xiàn)＝1或D＝2，E＝6，F(xiàn)＝1.

故所求圓的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0，或x2＋y2＋2x＋6y.

考點：圓的方程的求法.